Das Landesamt für Einwanderung in Berlin hat das Verfahren zur Vereinbarung von Terminen über das sog. OTV eingestellt:

https://www.berlin.de/einwanderung/ueber-uns/aktuelles/artikel.1473221.php

Langfristig sollen Anträge online gestellt werden können. Bislang gilt das aber nur für eine wenige Verfahren, z. B. die Blaue Karte.

Ansonsten müssen Anträge auf Verlängerung von Aufenthaltserlaubnissen rechtzeitig vor Ablauf über das Kontaktformular in dem Bereich, der für Sie zuständig ist, gestellt werden:

https://www.berlin.de/einwanderung/ueber-uns/kontakt/artikel.1394180.php

Zuerst stellte sich bei mir ein wenig Frust ein, weil manchmal (selten) hatte man über das OTV doch Glück und ergatterte einen  Termin. Die Nachteile dadurch, dass Termine verkauft wurden und kaum welche übrig blieben überwogen aber.

Im Nachhinein wird das System so gerechter werden.

Aus meiner anwaltlichen Sicht wäre ein System wie in früheren Zeiten in den 90ern wünschenswert, als Termine zur Verlängerung vor Ablauf der Aufenthaltserlaubnis von der Behörde rechtzeitig vor Ablauf der Aufenthaltserlaubnis vergeben wurden. Wenn dann noch die Prüfung von Anträgen vor dem Termin erfolgen würde, wäre es perfekt. Oft sind die Kunden der Behörde vor dem Termin  gestresst, was entfällt, wenn das Ergebnis vor Vorsprache klar ist.